Algèbre linéaire

lmat1131  2018-2019  Louvain-la-Neuve

Algèbre linéaire
8 crédits
45.0 h + 45.0 h
Q1
Enseignants
Langue
d'enseignement
Français
Préalables


Compétences en mathématique de niveau de la dernière année de l'enseignement secondaire.
Maitrise de la langue française de niveau de la dernière année de l'enseignement secondaire.
Thèmes abordés


Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires. Calcul matriciel. Espaces vectoriels, applications linéaires et opérateurs linéaires. Espaces euclidiens. Formes quadratiques.
Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

1

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

- Connaitre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre

des problèmes de mathématique.

-- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.

- Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique.

- Faire preuve d'abstraction et esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

-- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.

-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.

-- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique et en déceler les failles éventuelles.

 

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

- Utiliser les espaces vectoriels de dimension finie pour décrire l'ensemble des solutions d'un système linéaire.

- Utiliser le théorème de représentation des applications linéaires pour interpréter les opérations sur les matrices, y compris le déterminant d'une matrice carrée.

- Exploiter les propriétés des applications linéaires, et notamment le théorème du rang, pour construire des espaces vectoriels et en estimer la dimension.

- Appliquer la notion d'espace euclidien et de projection orthogonale pour résoudre des problèmes de distance et d'approximation dans  R^n et dans d'autres espaces.

- Appliquer les techniques de diagonalisation d'un opérateur linéaire pour étudier l'évolution d'un système linéaire et pour déterminer le caractère d'une forme quadratique.

 

La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».
Contenu


Cette activité consiste à introduire des notions algébriques abstraites qui ont un rôle essentiel dans tout le cursus de bachelier et de master en sciences mathématiques et en sciences physiques : les espaces vectoriels et euclidiens, les applications linéaires et les opérateurs linéaires, les formes quadratiques. L'étude des systèmes d'équations algébriques linéaires est à la fois un objectif du cours et l'exemple-problème qui motive l'introduction des structures algébriques ci-dessus.
Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.
- Opérations sur les vecteurs de  R^n.
- Sous-espaces vectoriels, famille génératrice, base, dimension.
- Méthode de Gauss, structure de l'ensemble des solutions d'un système.
- Opérations sur les matrices, espace ligne et espace colonne, expression matricielle d'un système.
- Espaces vectoriels sur un corps commutatif, applications linéaires, fibre, noyau, image.
- Théorème de représentation des applications linéaires.
- Produit d'espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels, théorème du rang.
- Déterminant.
- Espaces euclidiens, projection orthogonale, problèmes d'approximation.
- Opérateurs linéaires, espaces propres et diagonalisation.
- Opérateur adjoint, théorème spectral, formes quadratiques, loi d'inertie.
Méthodes d'enseignement
Les activités d'apprentissage sont constitués par des cours magistraux, des séances de travaux pratiques et des séances de monitorat. Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs liens avec d'autres cours du programme de bachelier en sciences mathématiques. Les séances de travaux pratiques visent à apprendre à choisir et utiliser des méthodes de calcul et à construire des démonstrations. Les monitorat permettent aux étudiants d'avoir une aide et un suivi individuel dans leur apprentissage. Les trois activités se donnent en présentiel.
Modes d'évaluation
des acquis des étudiants


L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit portant à la fois sur la théorie et les exercices, à parts à peu près égales. On y teste la connaissance et la compréhension des notions et des résultats fondamentaux, la capacité de construire et d'écrire un raisonnement cohérent, la maîtrise des techniques de calcul. Chaque examen est composé de quatre questions, dont une choisie parmi les anciennes questions d'examen qui se trouvent à la fin du syllabus d'exercices. Un test réalisé en semaine 5 peut apporter un bonus de au plus 2 points sur 20 qui s'ajoutent à la note d'examen.
Ressources
en ligne


Site Moodle.
Le site contient le syllabus du cours, les énoncés des exercices pour les séances de travaux pratiques (les solutions sont ajoutées après chaque séance), le corrigé des examens récents et le plan détaillé du cours.
Bibliographie


Syllabus disponible sur Moodle.
Faculté ou entité
en charge


Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)

Intitulé du programme
Sigle
Crédits
Prérequis
Acquis
d'apprentissage
Bachelier en sciences physiques

Bachelier en sciences mathématiques