Mathématiques discrètes - Structures combinatoires

lmat2460  2019-2020  Louvain-la-Neuve

Mathématiques discrètes - Structures combinatoires
Au vu du contexte sanitaire lié à la propagation du coronavirus, les modalités d’organisation et d’évaluation des unités d’enseignement ont pu, dans différentes situations, être adaptées ; ces éventuelles nouvelles modalités ont été -ou seront-communiquées par les enseignant·es aux étudiant·es.
Voir aussi la liste des évaluations de la session de juin 2020.
5 crédits
30.0 h
Q1
Langue
d'enseignement
Français
Préalables


LMAT1131 - algèbre linéaire (première année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.
Thèmes abordés


Le cours donne une introduction à la géométrie combinatoire et à la théorie des codes correcteurs d'erreur, la notion de base du point de vue théorique étant la structure des corps finis.
Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

1

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique.

A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à:

- Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à:

-- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories.

- Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à:

-- Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.

-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.

 

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours.

A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de:

- Construire des corps finis dont le nombre d'éléments est une puissance quelconque d'un nombre premier arbitraire, effectuer des opérations dans ces corps et en reconnaître la structure.

- Analyser des structures d'incidence, en particulier des espaces projectifs finis, et mettre en relation ces structures avec les carrés latins.

- Comprendre comment sont mises en oeuvre les structures découvertes dans le cadre d'une application d'ingénierie: les codes correcteurs d'erreurs.

- Etre capable de raisonner sur un code correcteur linéaire pour déduire ses propriétés fondamentales: longueur, dimension, capacité correctrice.

 

La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».
Contenu
Le cours vise à donner les bases conceptuelles et les méthodes permettant de construire et d'analyser les corps finis et diverses structures combinatoires associées, avec une attention particulière pour les corps correcteurs d'erreur. Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.
- Corps finis: construction, structure et propriétés des éléments (ordre multiplicatif, polynôme minimal).
- Enumération des polynômes irréductibles en une variable sur un corps fini.
- Carrés latins, plans projectifs et designs symétriques: construction et caractérisations par les matrices d'incidence.
- Codes correcteurs: codes linéaires, capacité correctrice, longueur, dimension, représentations matricielles, codes cycliques, codes de Reed-Solomon, codes convolutifs (selon temps et intérêt).
Méthodes d'enseignement
Le cours est donné sous forme de cours magistraux, pendant lesquels les étudiants sont encouragés à adopter une attitude active. Les phénomènes à analyser sont d'abord observés sur des exemples, puis les propriétés identifiées font l'objet de démonstrations détaillées.
Modes d'évaluation
des acquis des étudiants
L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit. On y teste la connaissance et la compréhension des notions, des exemples et des résultats fondamentaux, la capacité de construire un raisonnement cohérent, la maîtrise des techniques de démonstration introduites pendant le cours.
Ressources
en ligne
Site moodle
Bibliographie
Syllabus pour la partie sur les corps finis (disponible sur moodle).
G.L. Mullen, C. Mummert: Finite fields and applications, Student Math. Library 41, Amer. Math. Soc., 2007.
Support de cours
  • matériel sur moodle
Faculté ou entité
en charge


Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)

Intitulé du programme
Sigle
Crédits
Prérequis
Acquis
d'apprentissage
Master [120] en sciences mathématiques
5

Master [120] : ingénieur civil en mathématiques appliquées
5

Master [120] en statistique, orientation générale
5

Approfondissement en sciences mathématiques