Group theory

lphys2211  2019-2020  Louvain-la-Neuve

Group theory
Note du 29 juin 2020
Sans connaitre encore le temps que dureront les mesures de distances sociales liées à la pandémie de Covid-19, et quels que soient les changements qui ont dû être opérés dans l’évaluation de la session de juin 2020 par rapport à ce que prévoit la présente fiche descriptive, de nouvelles modalités d’évaluation des unités d’enseignement peuvent encore être adoptées par l’enseignant ; des précisions sur ces modalités ont été -ou seront-communiquées par les enseignant·es aux étudiant·es dans les plus brefs délais.
5 crédits
22.5 h + 22.5 h
Q2
Enseignants
Langue
d'enseignement
Anglais
Préalables
Avoir suivi LMAT1121 et LMAT1131 ou des unités d'enseignement équivalentes dans un autre programme constitue un atout.
Thèmes abordés
Cette unité d'enseignement constitue une introduction générale à la théorie des groupes, avec, en perspective, son usage (indispensable) en physique. Les symétries y sont omniprésentes et sont mathématiquement formalisées par la notion de groupe. Le physicien a donc besoin de comprendre comment formuler une symétrie, comment l'exploiter et en mesurer toutes les conséquences. La notion fondamentale est celle de représentation, qui permet de préciser concrètement le statut des quantités physiques par rapport à une symétrie donnée. Plutôt que de se concentrer sur les aspects structurels des groupes, l'unité d'enseignement s'attache à présenter, étudier et utiliser le concept de représentation d'un groupe, et montre l'utilité des méthodes groupales par quelques exemples d'applications.
Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

1

 

a.     Contribution de l¿unité d¿enseignement aux acquis d¿apprentissage du programme (PHYS2M et PHYS2M1)

 

1.1, 1.5, 2.1, 2.3, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4.

 

b.    Acquis d¿apprentissage spécifiques à l¿unité d¿enseignement

 

Au terme de cette unité d¿enseignement, l¿étudiant.e sera capable de :

1.    formaliser une symétrie par l'utilisation d'un groupe ;

2.    analyser les conséquences d'une symétrie par l'utilisation des représentations du groupe asssocié ;

3.    comprendre l'importance physique de l'utilisation des représentations ;

4.    calculer des caractères de représentations ;

5.    identifier les types de représentations ;

6.    calculer la réduction d'une représentation d'un groupe fini et identifier les sous-espaces invariants associés aux parties irréductibles ;

7.    calculer la dimension et l'algèbre d'un groupe de matrices ;

8.    identifier et caractériser une représentation de SU(2) ;

9.    calculer des coefficients de Clebsch-Gordan de SU(2).

 

 

La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».
Contenu
Le cours comporte deux parties, avec les contenus suivants. En fonction du temps disponible, les parties marquées d'une astérisque ne sont pas discutées.
1.  Groupes finis :
'    notions fondamentales, propriétés et exemples (sous-groupes, produit direct et semi-direct, classes de conjugaison, classes latérales et groupe quotient, illustrations dans les groupes de permutations) ;
'     concept de représentation (motivations et définitions, exemples, distinction réductibles/irréductibles, équivalence de représentations, sommes directes) ;
'    résultats généraux pour les groupes finis (caractères, relations d'orthogonalité, tables de caractères irréductibles, méthodes de réduction, applications) ;
'    produits tensoriels de représentations (définition, réduction de produits, utilité pratique des notations tensorielles, exemples) ;
'    caractérisation mathématique et conséquences d'une symétrie dans un système physique concret (obtention de modes normaux de vibration par identification des parties irréductibles dans l'action du groupe de symétrie) ;
'    (*) discussion des groupes de permutations (diagrammes de Young, représentations irréductibles associées, dimensions).
2. Groupes et algèbres de Lie :
'    groupe SO(2) (représentation de définition, générateur infinitésimal) ;
'    généralisation aux groupes de matrices (algèbre d'un groupe, application exponentielle, représentations d'algèbres, constantes de structure et loi de composition du groupe) ;
'    groupes SU(2) et SO(3) (variétés de groupe, paramétrisations, différences et relation) ;
'    algèbre SU(2) (représentations irréductibles, réduction de produits tensoriels, coefficients de Clebsch-Gordan) ;
'    (*) représentations de l'algèbre SU(3) (exemples, structure générale, réduction de produits, applications physiques) ;
'    (*) représentations des groupes linéaires (méthodes tensorielles, rôle des groupes de permutations, tableaux de Young et formules de dimensions, particularités des groupes orthogonaux, application au tenseur de Riemann).
Méthodes d'enseignement
Les activités d'apprentissage sont constituées par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques.
Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, en les motivant par des exemples qui ont été discutés dans d'autres unités d'enseignement du programme du Bachelier en sciences physiques, et qui sont ici revisités avec un éclairage spécifiquement "groupe". Les résultats les plus utiles sont présentés et les méthodes associées détaillées.
Les séances de travaux pratiques visent à se familiariser avec les notions théoriques et les méthodes vues au cours, dans le but de les appliquer à des situations concrètes simples.
Les deux activités se donnent en présentiel.
Modes d'évaluation
des acquis des étudiants
L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit portant sur les notions théoriques et leur application à des problèmes simples mais concrets. On y teste la connaissance, la compréhension et la maîtrise des notions, des techniques et des méthodes vues au cours théorique. L'accent est délibérément mis sur la capacité à analyser une situation nouvelle (mais simple), plutôt que sur la démonstration de résultats mathématiques.
Ressources
en ligne
Syllabus disponible sur MoodleUCL.
Bibliographie
Syllabus disponible sur MoodleUCL.
Faculté ou entité
en charge


Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)

Intitulé du programme
Sigle
Crédits
Prérequis
Acquis
d'apprentissage
Master [60] en sciences physiques

Master [120] en sciences physiques

Approfondissement en sciences physiques

Approfondissement en sciences mathématiques

Mineure en physique

Mineure en mathématiques