Géométrie complexe

LMAT2265  2020-2021  Louvain-la-Neuve

Géométrie complexe
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5.0 crédits
30.0 h + 15.0 h
2q

Ce cours bisannuel est dispensé en 2015-2016, 2017-2018, ...

Enseignants
Haine Luc;
Langue
d'enseignement
Français
Préalables

- LMAT1222, Analyse complexe 1 (ou cours équivalent)
- Notions de base en géométrie différentielle, LMAT1241 ou LMAT1342 (ou cours équivalent)

Thèmes abordés

Théorie des surfaces de Riemann compactes et ses applications aux systèmes intégrables.

Acquis
d'apprentissage

 

1. Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique.

A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

    • Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :
    • Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.
    • Etablir les liens principaux entre ces théories.
    • Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique.

Il aura notamment développé sa capacité à :

    • Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.
    • Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
    • Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.

2. Acquis d'apprentissage spécifiques au cours.

A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

    • Comprendre l'origine et l'utilité de la notion de faisceau dans l'étude du problème du prolongement analytique et de la construction de la surface de Riemann d'une fonction algébrique.
    • Utiliser le premier groupe de cohomologie à coefficients dans un faisceau pour aborder des problèmes classiques de la théorie des surfaces de Riemann compactes comme le problème de Riemann-Roch et le problème de Mittag-Leffler.
    • Calculer sur des exemples concrets le genre d'une surface de Riemann compacte ainsi qu'une base de formes différentielles holomorphes.
    • Comprendre le rôle du problème d'inversion de Jacobi et de la fonction thêta de Riemann dans la théorie moderne des systèmes intégrables, et la notion de fonction tau comme vaste généralisation de la fonction thêta de Riemann.

                                                                                                                                                                                                                   

La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».

Contenu

En 2019-2020 le cours portera sur la théorie des surfaces de Riemann compactes, en relation avec les systèmes intégrables.

1. Surfaces de Riemann compactes:

- théorème de Riemann-Roch

- théorème d'Abel

- variétés jacobiennes, problème d'inversion de Jacobi et fonctions thêta

2. Applications à la théorie des systèmes intégrables (théorie des solitons):

- fonctions de Baker-Akhiezer

- équations de la théorie des solitons

Méthodes d'enseignement

Le cours est donné sous forme de cours magistral. Pendant les séances, les étudiants sont invités à participer activement en se basant sur leurs connaissances préalables de base en analyse complexe et en géométrie différentielle

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

L'évaluation se fait sur base d'une présentation orale durant les séances de travaux pratiques et d'un examen oral sur la matière vue au cours. La présentation orale durant le quadrimestre a pour objet un chapitre d'un ouvrage de référence ou un article de recherche ouvrant de nouvelles perspectives. A l'examen oral, on teste la connaissance et la compréhension des notions, des exemples et des résultats fondamentaux, et la maîtrise des techniques de démonstration introduites pendant le cours.

Ressources
en ligne

Syllabus et références disponibles sur le site moodle du cours LMAT2265.

Bibliographie
  • syllabus en français

O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Graduate Texts in Mathematics 81, Springer-Verlag.

Faculté ou entité
en charge


Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)

Intitulé du programme
Sigle
Crédits
Prérequis
Acquis
d'apprentissage
Master [60] en sciences mathématiques
5
-

Master [120] en sciences physiques
5
-

Master [60] en sciences physiques
5
-

Master [120] en sciences mathématiques
5
-