Equations différentielles ordinaires

lmat1223  2020-2021  Louvain-la-Neuve

Equations différentielles ordinaires
5 crédits
30.0 h + 15.0 h
Q2
Enseignants
Langue
d'enseignement
Français
Préalables


- soit LMAT1121 Analyse mathématique 1, LMAT1122 Analyse mathématique 2 et LMAT1131 Algèbre linéaire
- soit LFSAB1102 Mathématiques 2

Le(s) prérequis de cette Unité d’enseignement (UE) sont précisés à la fin de cette fiche, en regard des programmes/formations qui proposent cette UE.
Thèmes abordés


Etude mathématique par des outils algébriques et analytiques des problèmes d'équations différentielles ordinaires et des propriétés qualitatives de leurs solutions.
Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

1

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans :

- La connaissance et  la compréhension d'un socle fondamental des mathématique dans le but de devenir capable de :

-- Choisir et utiliser les méthodes et les outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique.

-- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.

- La capacité de dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique ou dans des domaines proches.

- La capacité d'abstraction et l'esprit critique, dans le but de devenir capable de :

-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

-- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.

-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.

-- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique ou logique et en déceler les failles éventuelles.

-- Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.

- La clarté, la précision et la rigueur dans les activités de communication dans le but de devenir capable de

-- Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline.

 

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

- Construire mathématiquement des solutions de problèmes d'équations différentielles.

- Relier les propriétés d'une application linéaire aux propriétés des solutions d'une équation différentielle linéaire où il apparait.

- Appliquer des méthodes d'études de systèmes d'équations différentielles à des équations différentielles d'ordre supérieur.

- Exploiter les relations entre solutions d'un système différentiel linéaire.

- Etudier l'unicité de solutions d'une équation différentielle, en argumentant à l'aide de preuves et de contre-exemple.

- Caractériser topologiquement les solutions maximales.

- Déterminer si un problème d'équation différentielle admet une solution globale.

- Etudier la stabilité d'un équilibre.

- Définir la stabilité.

- Comparer et relier les critères et définitions de stabilité entre eux à l'aide de démonstrations et de contre-exemples.

- Enoncer, démontrer et appliquer des critères d'existence et d'unicité de solutions de problèmes aux limites.

- Illustrer les définitions et les énoncés des théorèmes par des exemples et contre-exemples.

 

La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».
Contenu


- problème de Cauchy pour des équations différentielles ordinaires: existence, unicité et dépendance par rapport aux conditions initiales,
- structures des solutions pour des équations linéaires,
- introduction à la théorie de la stabilité,
- introduction à l'étude de problèmes aux limites.
Méthodes d'enseignement


Les activité d'apprentissage sont constitués par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques.
Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs liens avec d'autres cours.
Les séances de travaux pratiques visent à apprendre à choisir et utiliser des méthodes de calcul et à construire des démonstrations.
Les activités se déroulent en présentiel.
Modes d'évaluation
des acquis des étudiants


L'acquisition des compétences sera évaluée lors d'un examen final. Les questions demanderont :
- restituer de la matière, notamment des définitions, des théorèmes, des preuves, des exemples,
- choisir et appliquer des méthodes du cours pour résoudre des problèmes et des exercices,
- adapter des méthodes de démonstration du cours à des situations nouvelles,
- synthétiser et comparer des objets et concepts.
L'évaluation portera sur
- la connaissance, la compréhension et l'application des différents objets et méthodes mathématiques du cours,
- l'exactitude des calculs,
- la rigueur des développements, preuves et justifications,
- la qualité de la rédaction des réponses.
Bibliographie


Syllabus du cours.
Faculté ou entité
en charge


Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)

Intitulé du programme
Sigle
Crédits
Prérequis
Acquis
d'apprentissage
Bachelier en sciences mathématiques

Mineure en sciences de l'ingénieur : mécanique (accessible uniquement pour réinscription)

Approfondissement en sciences physiques

Mineure en mathématiques