Equations différentielles ordinaires

lmat1223  2020-2021  Louvain-la-Neuve

Equations différentielles ordinaires
En raison de la crise du COVID-19, les informations ci-dessous sont susceptibles d’être modifiées jusqu’au 13 septembre, notamment celles qui concernent le mode d’enseignement (en présentiel, en distanciel ou sous un format comodal ou hybride).
5 crédits
30.0 h + 15.0 h
Q2
Enseignants
Langue
d'enseignement
Français
Préalables


- soit LMAT1121 Analyse mathématique 1, LMAT1122 Analyse mathématique 2 et LMAT1131 Algèbre linéaire
- soit LFSAB1102 Mathématiques 2

Le(s) prérequis de cette Unité d’enseignement (UE) sont précisés à la fin de cette fiche, en regard des programmes/formations qui proposent cette UE.
Thèmes abordés


Etude mathématique par des outils algébriques et analytiques des problèmes d'équations différentielles ordinaires et des propriétés qualitatives de leurs solutions.
Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

1

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans :

- La connaissance et  la compréhension d'un socle fondamental des mathématique dans le but de devenir capable de :

-- Choisir et utiliser les méthodes et les outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique.

-- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.

- La capacité de dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique ou dans des domaines proches.

- La capacité d'abstraction et l'esprit critique, dans le but de devenir capable de :

-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

-- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.

-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.

-- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique ou logique et en déceler les failles éventuelles.

-- Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.

- La clarté, la précision et la rigueur dans les activités de communication dans le but de devenir capable de

-- Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline.

 

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

- Construire mathématiquement des solutions de problèmes d'équations différentielles.

- Relier les propriétés d'une application linéaire aux propriétés des solutions d'une équation différentielle linéaire où il apparait.

- Appliquer des méthodes d'études de systèmes d'équations différentielles à des équations différentielles d'ordre supérieur.

- Exploiter les relations entre solutions d'un système différentiel linéaire.

- Etudier l'unicité de solutions d'une équation différentielle, en argumentant à l'aide de preuves et de contre-exemple.

- Caractériser topologiquement les solutions maximales.

- Déterminer si un problème d'équation différentielle admet une solution globale.

- Etudier la stabilité d'un équilibre.

- Définir la stabilité.

- Comparer et relier les critères et définitions de stabilité entre eux à l'aide de démonstrations et de contre-exemples.

- Enoncer, démontrer et appliquer des critères d'existence et d'unicité de solutions de problèmes aux limites.

- Illustrer les définitions et les énoncés des théorèmes par des exemples et contre-exemples.

 

La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».
Contenu
- problème de Cauchy pour des équations différentielles ordinaires: existence, unicité et dépendance par rapport aux conditions initiales,
- structures des solutions pour des équations linéaires,
- introduction à la théorie de la stabilité
Méthodes d'enseignement

En raison de la crise du COVID-19, les informations de cette rubrique sont particulièrement susceptibles d’être modifiées jusqu’au 13 septembre.

Les activité d'apprentissage sont constitués par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques.
Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs liens avec d'autres cours.
Les séances de travaux pratiques visent à apprendre à choisir et utiliser des méthodes de calcul et à construire des démonstrations.
Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

En raison de la crise du COVID-19, les informations de cette rubrique sont particulièrement susceptibles d’être modifiées jusqu’au 13 septembre.

L'acquisition des compétences sera évaluée dans des devoirs et lors d'un examen final. Les questions de l'examen final demanderont :
- restituer de la matière, notamment des définitions, des théorèmes, des preuves, des exemples,
- choisir et appliquer des méthodes du cours pour résoudre des problèmes et des exercices,
- adapter des méthodes de démonstration du cours à des situations nouvelles,
- synthétiser et comparer des objets et concepts.
L'évaluation portera sur
- la connaissance, la compréhension et l'application des différents objets et méthodes mathématiques du cours,
- l'exactitude des calculs,
- la rigueur des développements, preuves et justifications,
- la qualité de la rédaction des réponses.
Ressources
en ligne
Des notes de cours seront disponibles en ligne sur Moodle.
Bibliographie
Support de cours
  • Syllabus et énoncés d’exercice accessibles sur Moodle.
Faculté ou entité
en charge


Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)

Intitulé du programme
Sigle
Crédits
Prérequis
Acquis
d'apprentissage
Bachelier en sciences mathématiques

Mineure en sciences de l'ingénieur : mécanique (accessible uniquement pour réinscription)

Approfondissement en sciences physiques

Mineure en mathématiques