Courbes algébriques

Enseignants

Haine Luc;

Langue
d'enseignement

Français

Thèmes abordés

Fonctions elliptiques de Weierstrass et de Jacobi, courbes elliptiques associées, théorème d'Abel, théorème d'addition, applications choisies en géométrie, en mécanique et en théorie des nombres.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à: - Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à: -- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique. -- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles. -- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples. - Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique. - Faire preuve d'abstraction et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à: -- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique. -- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration. -- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome. -- Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat. - Etre clair, précis et rigoureux dans les activités de communication. Il aura notamment développé sa capacité à: -- Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline. -- Structurer un exposé oral, mettre en évidence les éléments clef, distinguer techniques et concepts. Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de : - Construire des fonctions holomorphes et méromorphes à l'aide de séries ou de produits infinis. - Appliquer le théorème d'Abel et le théorème d'addition des fonctions elliptiques dans des contextes variés. - Résoudre des problèmes faisant appel à l'utilisation des fonctions et des courbes elliptiques.

Contenu

En 2020-2021, le cours portera sur l'étude des surfaces de Riemann compactes et leur lien avec la théorie des courbes algébriques.  Riemann fut le premier à comprendre que des fonctions algébriques comme "racine carrée de z" sont bien définies et méromorphes sur un revêtement ramifié du plan complexe auquel on a ajouté un point à l'infini. La notion ne fut clarifiée qu'une cinquantaine d'années plus tard par Hermann Weyl, qui le premier introduisit la notion de variété abstraite. Nous étudierons les thèmes suivants dans le cours:
1. Notion de surface de Riemann abstraite.
2. Revêtements topologiques.
3. Construction de la surface de Riemann d'une fonction algébrique, calcul du genre.

Méthodes d'enseignement

En raison de la crise du COVID-19, les informations de cette rubrique sont particulièrement susceptibles d’être modifiées.

Les activités d'apprentissage sont constituées par des cours magistraux. Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats. Les étudiants reçoivent une liste de problèmes au début du cours qu'ils doivent résoudre au fur et à mesure de l'évolution du cours théorique, en vue de se préparer à l'examen final.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

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Examen final oral sur Teams portant sur la théorie et les exercices, à parts égales. Les exercices seront choisis parmi la liste d'exercices donnée au début du cours, que les étudiants doivent résoudre par eux-mêmes régulièrement durant le quadrimestre

Ressources
en ligne

Le site Moodle contient une copie des deux références sur lesquelles se base le cours et les énoncés des problèmes à réaliser durant le quadrimestre.

Support de cours

• Otto Forster, Lectures on Riemann surfaces, GTM 81, Springer, Chapter 1, pages 1-59.
• Roger Godement, Analyse mathématique III, Springer, Chapitre X (pages 289-325).

Faculté ou entité
en charge

MATH