Calcul des variations

lmat2250  2020-2021  Louvain-la-Neuve

Calcul des variations
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5 crédits
30.0 h + 15.0 h
Q2

Cette unité d'enseignement bisannuelle est dispensée en 2020-2021
Enseignants
Langue
d'enseignement
Français
Préalables


LMAT1321 - analyse fonctionnelle et équations aux dérivée partielles (troisième année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.
LMAT2130 - équations aux dérivée partielles 1 (première année de master en sciences mathématiques) ou cours équivalent.
Thèmes abordés


La méthode directe du calcul des variations, les méthodes de minimax et les propriétés de symétrie des solutions seront traitées. Le thème du cours sera variable.
Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

1

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique.
A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :
- Connaitre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.
-- Etablir les liens principaux entre ces théories.
- Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.
-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.
- Communiquer de manière scientifique. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Structurer un exposé oral en l'adaptant au niveau d'expertise du public.
- Faire preuve d'autonomie dans ses apprentissages. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Situer correctement un texte mathématique avancé par rapport aux connaissances acquises.
- Démarrer une recherche grâce à une connaissance plus approfondie d'un domaine des mathématiques actuelles. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Développer de façon autonome son intuition mathématique en anticipant les résultats attendus (formuler des conjectures) et en vérifiant la cohérence avec des résultats déjà existants.
-- Poser de façon autonome des questions pertinentes et lucides sur un sujet avancé de mathématique.
Acquis d'apprentissage spécifiques au cours (en fonction des thèmes traités).
Le cours vise à initier à la recherche dans le domaine des minima et des points critiques d'intégrales multiples.
 

La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».
Contenu
Le cours abordera des éléments du calcul des variation à une variable :
  • problèmes d'optimisation ;
  • équation d'Euler-Lagrange ;
  • fonctions absolument continues et espaces de Sobolev à une dimension ;
  • extréma non lisses ;
  • principe variationnel d'Ekeland ;
  • lemme du col.
Méthodes d'enseignement

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Les activités d'apprentissage sont constituées par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques.
Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs liens avec d'autres cours.
Les séances de travaux pratiques visent à approfondir les concepts abordés lors du cours magistral.
Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

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L'acquisition des compétences sera évaluée lors des projets pendant le quadrimestre et d'un examen.
Les questions demanderont :
  • restituer de la matière, notamment des définitions, des théorèmes, des preuves, des exemples,
  • choisir et appliquer des méthodes du cours pour résoudre des problèmes et des exercices,
  • adapter des méthodes de démonstration du cours à des situations nouvelles,
  • synthétiser et comparer des objets et concepts.
L'évaluation portera sur
  • la connaissance, la compréhension et l'application des différents objets et méthodes mathématiques du cours,
  • la rigueur des développements, preuves et justifications,
  • la qualité de la rédaction des réponses.
Ressources
en ligne
Bibliographie
Le cours sera basé sur des extraits des références suivantes :
  1. Troutman, John L. Variational calculus and optimal control. Second edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1996.
  2. Brezis, Haïm Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
  3. Buttazzo, Giuseppe; Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan One-dimensional variational problems. An introduction. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 15. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998.
  4. Clarke, Francis Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Graduate Texts in Mathematics, 264. Springer, London, 2013.
  5. Mawhin, Jean; Willem, Michel Critical point theory and Hamiltonian systems. Applied Mathematical Sciences, 74. Springer-Verlag, New York, 1989.
Faculté ou entité
en charge


Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)

Intitulé du programme
Sigle
Crédits
Prérequis
Acquis
d'apprentissage
Master [120] en sciences mathématiques

Master [120] en sciences physiques

Master [60] en sciences physiques

Master [60] en sciences mathématiques