Equations différentielles ordinaires

lmat1223  2024-2025  Louvain-la-Neuve

Equations différentielles ordinaires
5.00 crédits
30.0 h + 15.0 h
Q2
Enseignants
Langue
d'enseignement
Préalables
- soit LMAT1121 Analyse mathématique 1, LMAT1122 Analyse mathématique 2 et LMAT1131 Algèbre linéaire
- soit LFSAB1102 Mathématiques 2
Thèmes abordés
Etude mathématique par des outils algébriques et analytiques des problèmes d'équations différentielles ordinaires et des propriétés qualitatives de leurs solutions.
Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

1 Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique.
A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans :

-  La connaissance et  la compréhension d'un socle fondamental des mathématique dans le but de devenir capable de :
-- Choisir et utiliser les méthodes et les outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique.
-- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.
-- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.
- La capacité de dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique ou dans des domaines proches.
- La capacité d'abstraction et l'esprit critique, dans le but de devenir capable de :
-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
-- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.
-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.
-- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique ou logique et en déceler les failles éventuelles.
-- Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.
- La clarté, la précision et la rigueur dans les activités de communication dans le but de devenir capable de
-- Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline.
Acquis d'apprentissage spécifiques au cours.
A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

- Construire mathématiquement des solutions de problèmes d'équations différentielles.
- Relier les propriétés d'une application linéaire aux propriétés des solutions d'une équation différentielle linéaire où il apparait.
- Appliquer des méthodes d'études de systèmes d'équations différentielles à des équations différentielles d'ordre supérieur.
- Exploiter les relations entre solutions d'un système différentiel linéaire.
- Etudier l'unicité de solutions d'une équation différentielle, en argumentant à l'aide de preuves et de contre-exemple.
- Caractériser topologiquement les solutions maximales.
- Déterminer si un problème d'équation différentielle admet une solution globale.
- Etudier la stabilité d'un équilibre.
- Définir la stabilité.
- Comparer et relier les critères et définitions de stabilité entre eux à l'aide de démonstrations et de contre-exemples.
- Enoncer, démontrer et appliquer des critères d'existence et d'unicité de solutions de problèmes aux limites.
- Illustrer les définitions et les énoncés des théorèmes par des exemples et contre-exemples.
 
Contenu
- problème de Cauchy pour des équations différentielles ordinaires: existence, unicité et dépendance par rapport aux conditions initiales,
- structures des solutions pour des équations linéaires,
- introduction à la théorie de la stabilité
Méthodes d'enseignement
Les activité d'apprentissage sont constitués par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques.
Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs liens avec d'autres cours.
Les séances de travaux pratiques visent à apprendre à choisir et utiliser des méthodes de calcul et à construire des démonstrations.
Modes d'évaluation
des acquis des étudiants
L'acquisition des compétences sera évaluée dans des devoirs et lors d'un examen final. Les questions de l'examen final demanderont :
- restituer de la matière, notamment des définitions, des théorèmes, des preuves, des exemples,
- choisir et appliquer des méthodes du cours pour résoudre des problèmes et des exercices,
- adapter des méthodes de démonstration du cours à des situations nouvelles,
- synthétiser et comparer des objets et concepts.
L'évaluation portera sur :
- la connaissance, la compréhension et l'application des différents objets et méthodes mathématiques du cours,
- l'exactitude des calculs,
- la rigueur des développements, preuves et justifications,
- la qualité de la rédaction des réponses.
Ressources
en ligne
Des notes de cours seront disponibles en ligne sur Moodle.
Bibliographie
Support de cours
  • Syllabus et énoncés d’exercice accessibles sur Moodle.
Faculté ou entité
en charge


Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)

Intitulé du programme
Sigle
Crédits
Prérequis
Acquis
d'apprentissage
Approfondissement en sciences mathématiques

Mineure en mathématiques

Approfondissement en sciences physiques

Bachelier en sciences mathématiques