Le Prix Ballieu 2022 de l’École de Mathématique et l’association des ancien·nes étudiant·es MaPhyL a été décerné à Antoine Detaille pour son mémoire « Espaces de Sobolev à valeurs variétés ». Le jury a apprécié le travail de synthèse remarquable à partir d’une littérature disparate sur un thème de recherche actuel et important, l’ampleur des thématiques abordées où des conditions topologiques répondent à des questions d’analyse géométrique, la hauteur de vue impressionnante atteinte, l’illustration des théorèmes par des exemples et contre-exemples qui les délimitent et le texte soigné dans le raffinement de son expression.
Antoine Detaille nous explique « Dans mon mémoire, je me suis penché sur l’étude de fonctions à valeurs dans des variétés, c’est-à-dire dans des courbes, des surfaces… Par exemple, on peut s’intéresser aux fonctions à valeurs dans le cercle unité. De telles fonctions permettent ainsi de décrire en tout point d’une région de l’espace la direction prise par un objet en ce point, sans information de longueur. Cela s’applique notamment à l’étude des cristaux liquides (qu’on retrouve dans les écrans de smartphones, de téléviseurs, de réveils…). Les cristaux étant tous de même longueur, seule la direction dans laquelle pointent les cristaux nous intéresse, ce qui nous motive à employer pour les décrire des fonctions à valeurs dans le cercle, ou dans la sphère si les cristaux vivent dans l’espace à trois dimensions. Mon mémoire adopte une vision plus théorique : j’y ai effectué une synthèse de certaines propriétés de ces espaces de fonctions à valeurs dans des variétés. En raison de la contrainte variété, de nombreuses techniques et manipulations qu’on effectue sur les fonctions à valeurs réelles, parfois sans même y réfléchir, ne sont pas disponibles dans le contexte d’applications à valeurs dans des variétés. En conséquence, l’étude des espaces de fonctions à valeurs dans des variétés présente des défis totalement nouveaux par rapport à la théorie classique. Le défi pour moi a donc été, dans un premier temps, de me plonger dans la littérature, et de comprendre en détail les raisonnements tout en tâchant de dégager l’intuition qui se cache derrière. Dans un second temps, il m’a fallu tenter d’en donner une présentation aussi claire et pédagogique que possible. Mon objectif était d’expliquer les arguments le plus simplement possible, sans pour autant sacrifier à cette fin la rigueur mathématique. »
Antoine Detaille est actuellement doctorant à l’Institut Camille Jordan de l’Université Lyon 1. « Actuellement, je travaille sur l’un des problèmes ouverts que j’ai découverts lors de la réalisation de mon mémoire : la densité forte des fonctions lisses dans les espaces de Sobolev à valeurs variétés. De façon assez remarquable, une condition nécessaire et suffisante de nature purement topologique sur la variété cible a été mise en évidence pour la densité des fonctions lisses. La nécessité est connue dans le cas général depuis de nombreuses années, mais jusqu’à présent, il reste des cas dans lesquels la suffisance n’a pas été démontrée. »