IRMP - Soutenance publique de thèse - Grégoire NAISSE

Catégorification des modules de Verma

La théorie des représentations est un outil puissant en algèbre. En transformant les éléments d'un groupe en opérateurs sur des espaces vectoriels (c'est-a-dire des matrices), il est possible d'en comprendre beaucoup sur la structure dudit groupe.

L‘ idée de la théorie des représentations plus hautes est d'agir non pas sur des espaces vectoriels par des opérateurs, mais sur des catégories par des foncteurs, avec l'espoir que la structure supplémentaire donnée par les transformations naturelles nous en apprenne davantage.

Une autre motivation pour étudier de telles représentations plus hautes nous est donnée par la topologie de basse dimension: il existe tout un tas d'invariants polynomiaux de noeuds et de variétés de dimension 3 qui sont construits en utilisant des représentations de groupes quantiques (c'est-a-dire des q-déformations d'algèbres de Lie). Des lors, il est naturel d‘étudier leur pendants, dit « catégorifiés", en théorie des représentations plus hautes, dans le but d'obtenir des théories d'homologie pour ces objets topologiques. Un célèbre exemple est le polynôme de Jones qui peut être obtenu en utilisant des représentations de sl(2). Sa version categorifiée donne l'homologie de Khovanov.

Par ailleurs, les modules de Verma jouent un rôle clé dans la théorie des représentations des groupes quantiques. Ce sont des modules de plus haut poids de dimension infinie.

Ils peuvent être considères comme des représentations de plus haut poids universelles.

Aussi, ils trouvent des applications en topologie de basse dimension pour construire des invariants de noeuds, ainsi que des actions du groupe des tresses.

Dans cette thèse, nous construisons une version categorifiée de ces modules de Verma, leur donnant un équivalent en théorie des représentations plus hautes. La construction prend la forme d'une catégorie dérivée de modules sur des algèbres de type Khovanov-Lauda-Rouquier équipées d'une structure différentielle graduée.

Jury members :

• Prof. Pedro Vaz (UCLouvain), supervisor
• Prof. Marino Gran (UCLouvain), chairperson
• Prof. Pierre Bieliavsky (UCLouvain), secretary
• Prof. Tim Van der Linden (UCLouvain)
• Prof. Christian Blanchet (Université Paris Diderot, France)
• Prof. Kenny De Commer (VUB, Belgique)

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