Mathematical modelling of complex systems

Enseignants

Crevecoeur Frédéric; Delvenne Jean-Charles; Van Brandt Léopold (supplée Delvenne Jean-Charles);

Langue
d'enseignement

Anglais
> Facilités pour suivre le cours en français

Préalables

Notions de base de physique et de mathématiques appliquées données dans le programme de Bachelor of Engineering. Un cours de maîtrise sur les systèmes dynamiques, tel que LINMA2370 ou LINMA2361, est utile.

Thèmes abordés

Nous développons des méthodologies pour modéliser de manière adéquate des systèmes physiques complexes. Les sujets abordés peuvent inclure:

• Analyse de la dimensionnalité.
• Réseaux de systèmes dynamiques.
• Réduction de modèle : comment rendre simples des modèles complexes.
• Mouvement brownien et équations différentielles stochastiques (équations de Fokker-Planck, calcul d'Itô).
• Réseaux et matrices aléatoires.

Ces concepts et modèles peuvent être appliqués pour modéliser des processus et des systèmes du monde réel, par exemple : modèles stochastiques de mouvements humains (membres supérieurs ou mouvements oculaires saccadés avec bruit dans la commande neuronale), séries chronologiques physiologiques (bruit gaussien fractionnaire dans les séries chronologiques de la marche, exposant de Hurst), diffusion stochastique de l'information dans les réseaux (épidémies, adoption, dynamique de l'opinion), modèles de diversité écologique (théorème de May), modèles de dispositifs informatiques (électronique, informatique de l'ADN, etc.).

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

Contribution du cours aux objectifs du programme : AA1.1, AA1.2, AA1.3 AA2.1 AA5.2, AA5.3 L'objectif principal de ce cours est de permettre à l'étudiant de se familiariser à la modélisation mathématique des systèmes physiques continus.    Acquis d'apprentissage disciplinaires Etre capable de formuler un modèle mathématique d'un système physique complexe à l'aide des principes de la physique et de modèles de comportement appropriés. Pouvoir mettre en évidence les mécanismes physiques dominants à l'aide de l'analyse dimensionnelle, et le cas échéant, appliquer une technique de perturbation adéquate. Comprendre en profondeur (sur l'exemple générique des processus de diffusion traité au cours) les différentes approches de modélisation mathématique d'un problème complexe. Dans le cadre du projet, pouvoir analyser de manière critique et détaillée un modèle mathématique sophistiqué. Acquis d'apprentissage transversaux Recherche bibliographique critique et première découverte de la littérature scientifique. Rédaction d'un rapport scientifique de qualité. Présentation orale efficace d'un projet de nature technique complexe.

Contenu

Les thèmes couverts incluent (i) l'analyse dimensionnelle (Théorême "Pi" de Buckingham, variables et solutions de similitude, non-dimensionnalisation et mise à l'échelle), (ii) les méthodes de perturbation (perturbations régulières et singulières, couches limites, développements asymptotiques raccordés, analyse multi-échelle), (iii) le cas générique des processus de diffusion (marche aléatoire et mouvement Brownien, limite continue et équation de diffusion, loi constitutive de Fick, théories physiques d'Einstein et Langevin), (iv) le calcul stochastique et l'équation de Fokker-Planck pour processus de Markov (processus de Wiener, calcul stochastique d'Itô, équivalence entre équation différentielle stochastique et équation de Fokker-Planck, méthodes numériques stochastiques), (v) illustration de développements récents : modélisation micro-macro de la dynamique des polymères (théorie cinétique des polymères en solution, équation de Fokker-Planck associée, approximations de fermeture et dérivation d'équations de constitution, résolution numérique de l'équation de Fokker-Planck dans des espaces de configuration de grande dimension).

Méthodes d'enseignement

Cours ex cathedra développant les méthodologies sur des exemples, projets sur des cas réels, examen écrit.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

Evaluation :  Examen oral à livre ouvert (50% de la note finale) ;  Présentation du projet devant l'auditoire et rapport écrit (50% de la note finale).

Autres infos

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Ressources
en ligne

Le site Moodle du cours http://moodleucl.uclouvain.be/course/view.php?id=874 rassemble les différents documents optionnels (slides, références bibliographiques et web).

Bibliographie

• M. H. Holmes (2009) Introduction to the Foundations of Applied Mathematics
• E.J. Hinch (1991) Perturbation Methods
• H.C. Öttinger (1996) Stochastic Processes in Polymeric Fluids

Faculté ou entité
en charge

> MAP