Advanced topics in mathematics 7

5.00 crédits

30.0 h

> Horaire

Cette unité d'enseignement bisannuelle est dispensée en 2026-2027

Enseignants

Mancini Manuel;

Langue
d'enseignement

Anglais

Préalables

Selon le sujet traité, compétences en mathématique de niveau fin de bachelier en sciences mathématiques ou de niveau première année de master en sciences mathématiques.
2026-27 : Connaissances de base en algèbre linéaire et en algèbre abstraite. Aucune connaissance préalable de la théorie des catégories n'est requise, bien qu'une certaine familiarité avec ses notions de base facilite le suivi du cours.

Thèmes abordés

Le thème varie chaque année selon les intérêts de recherche du titulaire.
2026-27 :

Algèbres non associatives
Idéaux, quotients, suites exactes courtes et algèbres libres
Identités polynomiales, variétés d'algèbres non associatives, théorème de Birkhoff
Actions et extensions scindées dans les variétés d'algèbres non associatives
Algèbres de Lie, dérivations, classification en petite dimension
Algèbres de Lie nilpotentes et résolubles

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique.
A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

Faire preuve d'autonomie dans ses apprentissages.
Analyser un problème mathématique et proposer des outils adéquats pour l'étudier de façon approfondie.
Démarrer une recherche grâce à une connaissance plus approfondie d'un domaine des mathématiques actuelles. Il aura notamment développé sa capacité à :
- Développer de façon autonome son intuition mathématique en anticipant les résultats attendus (formuler des conjectures) et en vérifiant la cohérence avec des résultats déjà existants.
- Poser de façon autonome des questions pertinentes et lucides sur un sujet avancé de mathématique.

2026-27 : À la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :
- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.
- Etablir les liens principaux entre ces théories.
Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :
- Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.
- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours : le cours vise à initier à la recherche dans le domaine traité. Les acquis spécifiques varient en fonction du domaine.
2026-27 : À la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

identifier les principales classes d'algèbres non associatives et expliquer des exemples significatifs
manipuler les idéaux, les quotients, les noyaux, les conoyaux, les suites exactes courtes et les algèbres libres
expliquer le rôle des identités polynomiales et des variétés d'algèbres, décrire certaines propriétés catégoriques de ces variétés, et énoncer et appliquer le théorème de Birkhoff
utiliser des concepts catégoriques pour étudier les actions et les extensions scindées dans les variétés d'algèbres non associatives
analyser et classifier les algèbres de Lie complexes de dimension deux et trois
analyser les algèbres de Lie nilpotentes et résolubles

Contenu

L'objectif de cette activité est d'introduire les concepts fondamentaux de l'algèbre non associative dans une perspective catégorique, en prenant les algèbres de Lie comme étude de cas détaillée. Les sujets suivants seront abordés :

Définitions de base et exemples d'algèbres non associatives
Idéaux et quotients ; noyaux et conoyaux ; suites exactes courtes ; algèbres libres
Identités polynomiales et variétés d'algèbres ; certaines propriétés catégoriques de ces variétés ; théorème de Birkhoff
Actions dérivées, extensions scindées et représentabilité des actions dans les variétés d'algèbres non associatives
Algèbres de Lie : exemples fondamentaux, algèbres de Lie provenant d'algèbres associatives et algèbres de Lie matricielles
Sous-algèbres, idéaux, homomorphismes, sommes directes, centre, algèbre dérivée et dérivations
Algèbres de Lie de petite dimension et classification des algèbres de Lie complexes de dimension deux et trois
Algèbres de Lie nilpotentes et résolubles

Les notions catégoriques nécessaires seront introduites ou rappelées au fur et à mesure du cours.

Méthodes d'enseignement

Les activités d'apprentissage consistent en des cours magistraux. Elles visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver au moyen d'exemples et à établir les principaux résultats. Les étudiants sont encouragés à proposer des arguments et à discuter des exemples en s'appuyant sur leurs connaissances antérieures.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

L'évaluation repose sur un examen oral. Elle porte sur la connaissance et la compréhension des notions, des exemples et des résultats fondamentaux présentés au cours, sur la capacité à construire un raisonnement cohérent et sur la maîtrise des techniques de démonstration introduites pendant les séances.

Ressources
en ligne

Des notes de cours rédigées en anglais par l'enseignant seront disponibles sur MoodleUCLouvain et sur la page personnelle de l'enseignant.
Page du cours sur MoodleUCLouvain.
Page personnelle de l'enseignant : https://sites.google.com/view/manuelmancini

Bibliographie

[1] K. Erdmann et M. J. Wildon, Introduction to Lie Algebras, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, London, 2006.
[2] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 9, Springer-Verlag, New York, 1972.
[3] G. Janelidze, L. Márki et W. Tholen, « Semi-abelian categories », Journal of Pure and Applied Algebra 168 (2002), nᵒ 2-3, p. 367-386.
[4] S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2e éd., Graduate Texts in Mathematics, vol. 5, Springer, New York, 1998.
[5] M. Mancini, On the Representability of Actions of Non-Associative Algebras, thèse de doctorat, Università degli Studi di Palermo, Italie, 2024. https://hdl.handle.net/10447/623093
[6] E. Riehl, Category Theory in Context, Aurora: Modern Math Originals, Dover Publications, New York, 2016.
[7] T. Van der Linden, « Non-associative Algebras », dans M. M. Clementino, A. Facchini et M. Gran (dir.), New Perspectives in Algebra, Topology and Categories, Coimbra Mathematical Texts, vol. 1, Springer, Cham, 2021, p. 225-258.

Faculté ou entité
en charge

> MATH

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Intitulé du programme

Sigle

Crédits

Prérequis

Acquis
d'apprentissage

Master [120] en sciences mathématiques

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