Enseignants
Langue
d'enseignement
d'enseignement
Français
Préalables
Ce cours suppose acquises les notions de base de l'analyse (équations différentielles ordinaires (ED0) et méthodes de résolution d'EDO du 1er ordre et du 2ème ordre, fonctions de plusieurs variables et dérivées partielles) et celles de gradient, divergence et Laplacien telles qu'enseignées dans les cours LEPL1102 et LEPL1105.
Enfin, il suppose de suivre en parallèle le cours de Physique LEPL1203 pour la notion d'équation d'onde qui y est abordée.
Enfin, il suppose de suivre en parallèle le cours de Physique LEPL1203 pour la notion d'équation d'onde qui y est abordée.
Thèmes abordés
Equations aux dérivées partielles (EDP) : classification (hyperbolique, parabolique, elliptique), liens avec des phénomènes physiques, méthode des caractéristiques pour EDP hyperboliques, solutions en domaine infini (par fonctions de Green), solutions en domaine fini (par séparation des variables) avec opérateurs auto-adjoints, valeurs propres et fonctions propres, orthogonalité et développement de la solution en série de fonctions propres, solutions en domaine 1-D semi-infini (par variable de similitude). Fonctions d'une variable complexe : fonctions élémentaires, point(s) de branchement et coupure(s), limite et continuité, dérivabilité et équations de Cauchy-Riemann, intégration, théorème de Cauchy et formules intégrales de Cauchy, séries, théorème des résidus et applications (intégrales définies), transformations conformes.
Acquis
d'apprentissage
d'apprentissage
A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de : | |
Contribution du cours au référentiel du programme:
À l'issue de ce cours, l'étudiant sera à même de :
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Contenu
Equations aux dérivées partielles (EDP) :
EDP d'ordre 1 et d'ordre 2 : présentation, classification (hyperbolique, parabolique, elliptique) et liens avec des phénomènes physiques (équations de transport, d'onde, de diffusion, de Laplace, de Poisson), problème de Cauchy et méthode des caractéristiques pour les EDP hyperboliques, conditions initiales et/ou conditions aux limites (Dirichlet, Neumann, Robin), solutions en milieu infini (par fonction de Green) pour l'équation de diffusion, et pour l'équation de Poisson.
Opérateurs auto-adjoints, valeurs propres et fonction propres, orthogonalité des fonctions propres. Développement de fonctions en série de fonctions propres. Problème de Helmholtz. Fonctions de Bessel de 1ère et de 2ème espèces.
Méthode de séparation des variables pour problèmes en milieu fini : équation de Laplace en 2-D (rectangle, cercle, anneau, secteur de cercle ou d'anneau) ; équation d'onde en 1-D et en 2-D, équation de diffusion en 1-D et en 2-D.
Solutions de similarité pour l'équation de diffusion en milieu 1-D semi-infini.
Analyse complexe, f(z) :
Rappels sur le plan complexe et les nombres complexes.
Définition des fonctions élémentaires : za, exp(z), log(z), az, sin(z), sinh(z), arcsin(z), etc.
Point(s) de branchement et coupure(s), et surfaces de Riemann.
Limite et continuité, différentiation (dérivabilité), fonctions holomorphes, fonctions entières, équations de Cauchy-Riemann et liens avec l'équation de Laplace.
Intégration dans le plan complexe, théorème de Cauchy et conséquences : formules intégrales de Cauchy, séries de Taylor et de Laurent, pôles et théorème des résidus.
Evaluation d'intégrale définies (aussi avec les lemmes de Jordan).
Introduction aux transformations conformes et exemples d'applications.
EDP d'ordre 1 et d'ordre 2 : présentation, classification (hyperbolique, parabolique, elliptique) et liens avec des phénomènes physiques (équations de transport, d'onde, de diffusion, de Laplace, de Poisson), problème de Cauchy et méthode des caractéristiques pour les EDP hyperboliques, conditions initiales et/ou conditions aux limites (Dirichlet, Neumann, Robin), solutions en milieu infini (par fonction de Green) pour l'équation de diffusion, et pour l'équation de Poisson.
Opérateurs auto-adjoints, valeurs propres et fonction propres, orthogonalité des fonctions propres. Développement de fonctions en série de fonctions propres. Problème de Helmholtz. Fonctions de Bessel de 1ère et de 2ème espèces.
Méthode de séparation des variables pour problèmes en milieu fini : équation de Laplace en 2-D (rectangle, cercle, anneau, secteur de cercle ou d'anneau) ; équation d'onde en 1-D et en 2-D, équation de diffusion en 1-D et en 2-D.
Solutions de similarité pour l'équation de diffusion en milieu 1-D semi-infini.
Analyse complexe, f(z) :
Rappels sur le plan complexe et les nombres complexes.
Définition des fonctions élémentaires : za, exp(z), log(z), az, sin(z), sinh(z), arcsin(z), etc.
Point(s) de branchement et coupure(s), et surfaces de Riemann.
Limite et continuité, différentiation (dérivabilité), fonctions holomorphes, fonctions entières, équations de Cauchy-Riemann et liens avec l'équation de Laplace.
Intégration dans le plan complexe, théorème de Cauchy et conséquences : formules intégrales de Cauchy, séries de Taylor et de Laurent, pôles et théorème des résidus.
Evaluation d'intégrale définies (aussi avec les lemmes de Jordan).
Introduction aux transformations conformes et exemples d'applications.
Méthodes d'enseignement
Le cours est organisé en 13 cours (CM1 à CM13) en grand auditoire, et 12 séances d'apprentissage par exercices (APE1 à APE12) qui sont réalisées, en partie, en groupes tutorés (avec supervision d'un assistant-tuteur par groupe); et, pour le reste, par du travail personnel en dehors des groupes tutorés.
Le slot de cours prévu en dernière semaine est utilisé: en partie pour une séance Q&A, et en partie pour présenter du contenu complémentaire (soit en EDP, soit en analyse complexe)
Lorsque la situation sanitaire ne permet pas d'avoir tous les étudiants présents en grand auditoire pour le cours et en locaux de groupes pour les APE, le cours et les APEs sont organisés en mode "co-modal" (formule d’alternance de semaines en présentiel et en distanciel). La répartition des étudiants en deux cohortes est faite par l'EPL, et ce de façon concertée pour tous les cours de Q3.
Si la situation sanitaire ne permet pas l'organisation en mode "co-modal", le cours et les APEs sont organisés en distanciel.
Le slot de cours prévu en dernière semaine est utilisé: en partie pour une séance Q&A, et en partie pour présenter du contenu complémentaire (soit en EDP, soit en analyse complexe)
Lorsque la situation sanitaire ne permet pas d'avoir tous les étudiants présents en grand auditoire pour le cours et en locaux de groupes pour les APE, le cours et les APEs sont organisés en mode "co-modal" (formule d’alternance de semaines en présentiel et en distanciel). La répartition des étudiants en deux cohortes est faite par l'EPL, et ce de façon concertée pour tous les cours de Q3.
Si la situation sanitaire ne permet pas l'organisation en mode "co-modal", le cours et les APEs sont organisés en distanciel.
Modes d'évaluation
des acquis des étudiants
des acquis des étudiants
Les APE ne sont pas corrigés. Les solutions sont mises sur le site web du cours au fur et à mesure de l'avancement du quadrimestre. Cela permet à l'étudiant d'évaluer en continu son niveau de compréhension et d'apprentissage.
Les étudiants sont évalués individuellement, via un examen écrit. La note finale obtenue par l'étudiant.e est une somme pondérée de la note obtenue pour la partie EDPs (pour 4/7) et de la note obtenue pour la partie Analyse Complexe (pour 3/7).
Les étudiants sont évalués individuellement, via un examen écrit. La note finale obtenue par l'étudiant.e est une somme pondérée de la note obtenue pour la partie EDPs (pour 4/7) et de la note obtenue pour la partie Analyse Complexe (pour 3/7).
Ressources
en ligne
en ligne
site Moodle du cours
Bibliographie
Partie EDP :
J.-F. Remacle et G. Winckelmans, syllabus "LEPL1103: Partie sur les équations aux dérivées partielles (EDPs)".
Aussi mise à disposition d'une copie des supports visuels utilisés au cours par P. Chatelain et par G. Winckelmans.
Ouvrage de référence: Richard Haberman , "Elementary Applied Partial Differential Equations: with Fourier Series and Boundary Value Problems", Prentice Hall.
Partie Analyse complexe :
J. Hendrickx et G. Olikier: "LEPL1103: syllabus d'analyse complexe"
G. Winckelmans : note complémentaire sur les Lemmes de Jordan.
Ouvrages de référence : Stephen D. Fisher , "Complex Variables" , Dover ; Georges F. Carrier, M. Krook, Carl E. Pearson, "Functions of a Complex Variable : Theory and Practice" , Hod Books.
Les documents du cours (syllabus, notes complémentaires, copie des support visuels, énoncés et solutions des APEs) sont mis à disposition sur le site Moodle du cours.
J.-F. Remacle et G. Winckelmans, syllabus "LEPL1103: Partie sur les équations aux dérivées partielles (EDPs)".
Aussi mise à disposition d'une copie des supports visuels utilisés au cours par P. Chatelain et par G. Winckelmans.
Ouvrage de référence: Richard Haberman , "Elementary Applied Partial Differential Equations: with Fourier Series and Boundary Value Problems", Prentice Hall.
Partie Analyse complexe :
J. Hendrickx et G. Olikier: "LEPL1103: syllabus d'analyse complexe"
G. Winckelmans : note complémentaire sur les Lemmes de Jordan.
Ouvrages de référence : Stephen D. Fisher , "Complex Variables" , Dover ; Georges F. Carrier, M. Krook, Carl E. Pearson, "Functions of a Complex Variable : Theory and Practice" , Hod Books.
Les documents du cours (syllabus, notes complémentaires, copie des support visuels, énoncés et solutions des APEs) sont mis à disposition sur le site Moodle du cours.
Faculté ou entité
en charge
en charge
Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)
Intitulé du programme
Sigle
Crédits
Prérequis
Acquis
d'apprentissage
d'apprentissage
Bachelier en sciences de l'ingénieur, orientation ingénieur civil
