Compléments d'analyse

Enseignants

Absil Pierre-Antoine; Van Schaftingen Jean; Van Schaftingen Jean (supplée Absil Pierre-Antoine);

Langue
d'enseignement

Français

Préalables

Ce cours suppose acquises les notions de base en calcul infinitésimal et en algèbre linéaire.

Thèmes abordés

Ce cours aborde des thèmes d'analyse mathématique (théorie de la mesure, analyse fonctionnelle et espaces de fonctions) qui interviennent dans les fondements de diverses disciplines des mathématiques appliquées telles que les systèmes dynamiques, les équations aux dérivées partielles, la commande optimale, le calcul scientifique, les processus stochastiques et les mathématiques financières.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	AA 1.1, 1.2, 1.3, 3.1. À l'issue de ce cours, l'étudiant sera en mesure de : 1.  décrire, à l'aide d'exemples, d'énoncés et de démonstrations mathématiques, les espaces de dimension infinie, y compris leurs opérateurs et leurs notions de convergence, et les comparer aux espaces de dimension finie, 2.  appliquer les définitions et résultats de théorie de la mesure à l'étude d'espaces fonctionnels et à la théorie des probabilités, 3.  utiliser des concepts avancés de théorie de la mesure et d'analyse fonctionnelle en mathématiques appliquées.

Contenu

Concepts et résultats importants dans les thèmes du cours, tels que:

• Théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue, théorèmes deconvergence,

• Espace métrique complets, espaces de Banach et espaces de Hilbert, espaces de fonctions continues et de fonctions intégrables,
• Applications linéaires continues, convergence faible, théorème de représentation de Riesz, éléments de théorie spectrale,
• Distributions et espaces de Sobolev.

Méthodes d'enseignement

Le cours comprend un enseignement magistral en dialogue avec les
étudiants et des séances d'exercices. L'accent est mis sur la
compréhension critique de la théorie et sur la résolution active des
problèmes.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

• Travail réalisé pendant le quadrimestre: devoirs, exercices ou travaux pratiques. Ces activités ne sont donc organisées (et évaluées) qu'une seule fois par année académique.
• Examen écrit, ou oral selon les circonstances.

L'examen vaut pour 3/5 de la note, les travaux du quadrimestre pour 1/5 de la note, et les travaux du quadrimestre limités individuellement inférieurement par l'examen pour 1/5 de la note. La formule et davantage d'informations sont fournies dans le document "Plan de cours" disponible sur Moodle (voir "Ressources en ligne" ci-dessous).

Autres infos

Ressources
en ligne

https://moodle.uclouvain.be/course/view.php?id=2945

Bibliographie

Livre de référence : Gerald Teschl, "Topics in Real and Functional Analysis" disponible gratuitement en ligne à l'adresse
(https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/).

Faculté ou entité
en charge

> MAP