Les midis des mathématiques : Prix Ballieu 2024

L’École de Mathématiques de l’UCLouvain a attribué, avec le soutien de l’association des anciens MaPhyl, le Prix Ballieu 2024 à Maxime Willaert pour son mémoire Symplectic structures preserved by geodesic symmetries. 

Ce prix en mémoire de Robert F. Ballieu (1914-1980), récompense chaque année un travail de fin d’études de master en mathématiques «se distinguant par la valeur qu’ajoutent au travail le soin et l'originalité de sa présentation en termes d'attrait, de plaisir et d’intérêt ». 

Maxime Willaert nous explique : "Mon mémoire se situe en géométrie différentielle - une approche de la géométrie basée sur le calcul différentiel - et est motivé par le problème de la quantification, qu’on peut résumer par la question suivante : « comment passer de la description classique d’un système physique à sa description quantique ? » À tout système classique on peut associer un espace, son “espace des phases”, et comprendre la géométrie de cet espace des phases permet (dans certains cas) de quantifier le système. Cette approche fonctionne particulièrement bien lorsque l’espace des phases est symétrique dans un sens mathématiquement précis. Avec mon promoteur Pierre Bieliavsky, nous avons étudié la géométrie d’espaces « presque symétriques » que nous appelons « espaces de type S ». 

Avec notre définition de départ il était très difficile de reconnaitre les espaces de type S. Il nous fallait un critère plus « calculable ». On peut faire une analogie avec l’optimisation de fonctions : pour trouver les maxima et minima d’une fonction (un problème qui peut sembler intraitable quand on le rencontre pour la première fois), on commence souvent par chercher les points où sa dérivée s’annule, une étape qui a l’avantage de se prêter à une approche « purement calculatoire ». Le critère que nous avons obtenu se base sur le calcul des séries de Taylor d’une famille de fonctions.

Maxime Willaert a commencé un doctorat financé par une bourse FRIA. Sa recherche actuelle est centrée sur la méthode des orbites, qui relie la quantification à la théorie des représentations de groupes : Il peut arriver qu’un système physique admette certaines symétries, qu’on encodera dans un groupe. Quantifier le système peut alors nous en apprendre beaucoup sur son groupe de symétries. Plus précisément, nous obtiendrons des représentations unitaires du dit groupe. En ce sens, la méthode des orbites est intéressante d’un point de vue physique (puisqu’elle indique comment quantifier un système qui présente des symétries), mais aussi d’un point de vue purement mathématique.